Абсолютная и относительная погрешность. Контрольные вопросы и упражнения
Относительная ошибка
Ошибки средняя квадратичная т, истинная А называются абсолютными ошибками.
В некоторых случаях абсолютная ошибка недостаточно показательна, в частности, при линейных измерениях. Например, линия измерена с ошибкой ±5 см. Для длины линии в 1 метр эта точность, очевидно, низкая, а для длины линии в 1 километр точность безусловно более высокая. Поэтому нагляднее точность измерения будет характеризоваться отношением абсолютной ошибки к полученному значению измеренной величины. Такое отношение называется относительной ошибкой. Относительная ошибка выражается дробью, причем дробь преобразуется так, чтобы числитель ее был равен единице.
Относительную ошибку определяют по соответствующей абсолютной
ошибке. Пусть X - полученное значение некоторой величины, тогда - средняя квадратичная относительная ошибка этой величины; - истинная относительная ошибка.
Знаменатель относительной ошибки целесообразно округлять до двух значащих цифр с нулями.
Пример. В приведенном случае средняя квадратичная относительная ошибка измерения линии будет равна
Предельная ошибка
Предельной ошибкой называется наибольшее значение случайной ошибки, которое может появиться при данных условиях равноточных измерений.
Теорией вероятности доказано, что случайные ошибки только в трех случаях из 1000 могут превзойти величину Зт; 5 ошибок из 100 могут превзойти 2т и 32 ошибки из 100 могут превзойти т.
Исходя из этого, в геодезической практике результаты измерений, содержащие ошибки 0>3т , относят к измерениям, содержащим грубые ошибки, и в обработку не принимают.
Значения ошибок 0 = 2т используют как предельные при составлении технических требований для данного вида работ, т. е. все случайные ошибки измерений, превышающие по своей величине эти значения, считают недопустимыми. При получении расхождений, превышающих величину 2т, принимают меры по улучшению условий измерений, а сами измерения повторяют.
Контрольные вопросы и упражнения:
- 1. Перечислить виды измерений и дать их определение.
- 2. Перечислить виды ошибок измерений и дать их определение.
- 3. Перечислить критерии, применяемые для оценки точности измерений.
- 4. Найти среднюю квадратичную ошибку ряда измерений, если вероятнейшие ошибки равны: - 2,3; + 1,6; - 0,2; + 1,9; - 1,1.
- 5. Найти относительную ошибку измерения длины линии по результатам: 487,23 м и 486,91 м.
Истинное значение физической величины определить абсолютно точно практически невозможно, т.к. любая операция измерения связана с рядом ошибок или, иначе, погрешностей. Причины погрешностей могут быть самыми различными. Их возникновение может быть связано с неточностями изготовления и регулировки измерительного прибора, обусловлено физическими особенностями исследуемого объекта (например, при измерении диаметра проволоки неоднородной толщины результат случайным образом зависит от выбора участка измерений), причинами случайного характера и т.д.
Задача экспериментатора заключается в том, чтобы уменьшить их влияние на результат, а также указать, насколько полученный результат близок к истинному.
Существуют понятия абсолютной и относительной погрешности.
Под абсолютной погрешностью измерений будет понимать разницу между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины:
∆x i =x i -x и (2)
где ∆x i – абсолютная погрешность i-го измерения, x i _- результат i-го измерения, x и – истинное значение измеряемой величины.
Результат любого физического измерения принято записывать в виде:
где – среднее арифметическое значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному значению (справедливость x и≈ будет показана ниже), - абсолютная ошибка измерений.
Равенство (3) следует понимать таким образом, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале [ - , + ].
Абсолютная погрешность – величина размерная, она имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность произведенных измерений. В самом деле, если мы измерим с одной и той же абсолютной ошибкой ± 1 мм отрезки длиной 1 м и 5 мм, точность измерений будут несравнимы. Поэтому, наряду с абсолютной погрешностью измерения вычисляется относительная погрешность.
Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к самой измеряемой величине:
Относительная погрешность – величина безразмерная. Она выражается в процентах:
В приведенном выше примере относительные ошибки равны 0,1% и 20%. Они заметно различаются между собой, хотя абсолютные значения одинаковы. Относительная ошибка дает информацию о точности
Погрешности измерений
По характеру проявления и причинам появления погрешности можно условно разделить на следующие классы: приборные, систематические, случайные, и промахи (грубые ошибки).
П р о м а х и обусловлены либо неисправностью прибора, либо нарушением методики или условий эксперимента, либо имеют субъективный характер. Практически они определяются как результаты резко отличающиеся от других. Для устранения их появления требуется соблюдать аккуратность и тщательность в работе с приборами. Результаты, содержащие промахи, необходимо исключать из рассмотрения (отбрасывать).
Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измерения с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.
Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.
При проведении измерений важен не только учет систематических ошибок, но необходимо также добиваться их исключения.
Систематические погрешности условно разделяются на четыре группы:
1) погрешности, природа которых известна и их величина может быть достаточно точно определена. Такой ошибкой является, например, изменение измеряемой массы в воздухе, которая зависит от температуры, влажности, давления воздуха и т.д.;
2) погрешности, природа которых известна, но неизвестна сама величина погрешности. К таким погрешностям относятся ошибки, обусловленные измерительным прибором: неисправность самого прибора, несоответствие шкалы нулевому значению, классу точности данного прибора;
3) погрешности, о существовании которых можно не подозревать, но величина их зачастую может быть значительной. Такие ошибки возникают чаще всего при сложных измерениях. Простым примером такой ошибки является измерение плотности некоторого образца, содержащего внутри полости;
4) погрешности, обусловленные особенностями самого объекта измерения. Например, при измерении электропроводности металла из последнего берут отрезок проволоки. Погрешности могут возникнуть, если имеется какой-либо дефект в материале - трещина, утолщение проволоки или неоднородность, меняющие его сопротивление.
Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одной и той же величины.
Похожая информация.
Погрешность измерения - оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.
Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение никакой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины х д, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. с некоторой оговорённой вероятностью
В 2004 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределённость измерений», однако ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России.
Выделяют следующие виды погрешностей:
· абсолютная погрешность;
· относительна погрешность;
· приведенная погрешность;
· основная погрешность;
· дополнительная погрешность;
· систематическая погрешность;
· случайная погрешность;
· инструментальная погрешность;
· методическая погрешность;
· личная погрешность;
· статическая погрешность;
· динамическая погрешность.
Погрешности измерений классифицируются по следующим признакам.
· По способу математического выражения погрешности делятся на абсолютные погрешности и относительные погрешности.
· По взаимодействию изменений во времени и входной величины погрешности делятся на статические погрешности и динамические погрешности.
· По характеру появления погрешности делятся на систематические погрешности и случайные погрешности.
· По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.
· По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.
Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины. Абсолютная погрешность вычисляется по следующей формуле:
AQ n =Q n /Q 0 , где AQ n – абсолютная погрешность; Q n – значение некой величины, полученное в процессе измерения; Q 0 – значение той же самой величины, принятое за базу сравнения (настоящее значение).
Абсолютная погрешность меры – это значение, вычисляемое как разность между числом, являющимся номинальным значением меры, и настоящим (действительным) значением воспроизводимой мерой величины.
Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения. Относительная погрешность вычисляется по следующей формуле:
Где ∆Q – абсолютная погрешность; Q 0 – настоящее (действительное) значение измеряемой величины. Относительная погрешность выражается в процентах.
Приведенная погрешность – это значение, вычисляемое как отношение значения абсолютной погрешности к нормирующему значению.
Нормирующее значение определяется следующим образом:
· для средств измерений, для которых утверждено номинальное значение, это номинальное значение принимается за нормирующее значение;
· для средств измерений, у которых нулевое значение располагается на краю шкалы измерения или вне шкалы, нормирующее значение принимается равным конечному значению из диапазона измерений. Исключением являются средства измерений с существенно неравномерной шкалой измерения;
· для средств измерений, у которых нулевая отметка располагается внутри диапазона измерений, нормирующее значение принимается равным сумме конечных численных значений диапазона измерений;
· для средств измерения (измерительных приборов), у которых шкала неравномерна, нормирующее значение принимается равным целой длине шкалы измерения или длине той ее части, которая соответствует диапазону измерения. Абсолютная погрешность тогда выражается в единицах длины.
Погрешность измерения включает в себя инструментальную погрешность, методическую погрешность и погрешность отсчитывания. Причем погрешность отсчитывания возникает по причине неточности определения долей деления шкалы измерения.
Инструментальная погрешность – это погрешность, возникающая из-за допущенных в процессе изготовления функциональных частей средств измерения ошибок.
Методическая погрешность – это погрешность, возникающая по следующим причинам:
· неточность построения модели физического процесса, на котором базируется средство измерения;
· неверное применение средств измерений.
Субъективная погрешность – это погрешность возникающая из-за низкой степени квалификации оператора средства измерений, а также из-за погрешности зрительных органов человека, т. е. причиной возникновения субъективной погрешности является человеческий фактор.
Погрешности по взаимодействию изменений во времени и входной величины делятся на статические и динамические погрешности.
Статическая погрешность – это погрешность, которая возникает в процессе измерения постоянной (не изменяющейся во времени) величины.
Динамическая погрешность – это погрешность, численное значение которой вычисляется как разность между погрешностью, возникающей при измерении непостоянной (переменной во времени) величины, и статической погрешностью (погрешностью значения измеряемой величины в определенный момент времени).
По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.
Основная погрешность – это погрешность, полученная в нормальных условиях эксплуатации средства измерений (при нормальных значениях влияющих величин).
Дополнительная погрешность – это погрешность, которая возникает в условиях несоответствия значений влияющих величин их нормальным значениям, или если влияющая величина переходит границы области нормальных значений.
Нормальные условия – это условия, в которых все значения влияющих величин являются нормальными либо не выходят за границы области нормальных значений.
Рабочие условия – это условия, в которых изменение влияющих величин имеет более широкий диапазон (значения влияющих не выходят за границы рабочей области значений).
Рабочая область значений влияющей величины – это область значений, в которой проводится нормирование значений дополнительной погрешности.
По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.
Аддитивная погрешность – это погрешность, возникающая по причине суммирования численных значений и не зависящая от значения измеряемой величины, взятого по модулю (абсолютного).
Мультипликативная погрешность – это погрешность, изменяющаяся вместе с изменением значений величины, подвергающейся измерениям.
Надо заметить, что значение абсолютной аддитивной погрешности не связано со значением измеряемой величины и чувствительностью средства измерений. Абсолютные аддитивные погрешности неизменны на всем диапазоне измерений.
Значение абсолютной аддитивной погрешности определяет минимальное значение величины, которое может быть измерено средством измерений.
Значения мультипликативных погрешностей изменяются пропорционально изменениям значений измеряемой величины. Значения мультипликативных погрешностей также пропорциональны чувствительности средства измерений Мультипликативная погрешность возникает из-за воздействия влияющих величин на параметрические характеристики элементов прибора.
Погрешности, которые могут возникнуть в процессе измерений, классифицируют по характеру появления. Выделяют:
· систематические погрешности;
· случайные погрешности.
В процессе измерения могут также появиться грубые погрешности и промахи.
Систематическая погрешность – это составная часть всей погрешности результата измерения, не изменяющаяся или изменяющаяся закономерно при многократных измерениях одной и той же величины. Обычно систематическую погрешность пытаются исключить возможными способами (например, применением методов измерения, снижающих вероятность ее возникновения), если же систематическую погрешность невозможно исключить, то ее просчитывают до начала измерений и в результат измерения вносятся соответствующие поправки. В процессе нормирования систематической погрешности определяются границы ее допустимых значений. Систематическая погрешность определяет правильность измерений средств измерения (метрологическое свойство). Систематические погрешности в ряде случаев можно определить экспериментальным путем. Результат измерений тогда можно уточнить посредством введения поправки.
Способы исключения систематических погрешностей делятся на четыре вида:
· ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений;
· устранение погрешностей в процессе уже начатого измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставлениям, симметричных наблюдений;
· корректировка результатов измерения посредством внесения поправки (устранение погрешности путем вычислений);
· определение пределов систематической погрешности в случае, если ее нельзя устранить.
Ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений. Данный способ является самым оптимальным вариантом, так как его использование упрощает дальнейший ход измерений (нет необходимости исключать погрешности в процессе уже начатого измерения или вносить поправки в полученный результат).
Для устранения систематических погрешностей в процессе уже начатого измерения применяются различные способы
Способ введения поправок базируется на знании систематической погрешности и действующих закономерностей ее изменения. При использовании данного способа в результат измерения, полученный с систематическими погрешностями, вносят поправки, по величине равные этим погрешностям, но обратные по знаку.
Способ замещения состоит в том, что измеряемая величина заменяется мерой, помещенной в те же самые условия, в которых находился объект измерения. Способ замещения применяется при измерении следующих электрических параметров: сопротивления, емкости и индуктивности.
Способ компенсации погрешности по знаку состоит в том, что измерения выполняются два раза таким образом, чтобы погрешность, неизвестная по величине, включалась в результаты измерений с противоположным знаком.
Способ противопоставления похож на способ компенсации по знаку. Данный способ состоит в том, что измерения выполняют два раза таким образом, чтобы источник погрешности при первом измерении противоположным образом действовал на результат второго измерения.
Случайная погрешность – это составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно, незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины. Появление случайной погрешности нельзя предвидеть и предугадать. Случайную погрешность невозможно полностью устранить, она всегда в некоторой степени искажает конечные результаты измерений. Но можно сделать результат измерения более точным за счет проведения повторных измерений. Причиной случайной погрешности может стать, например, случайное изменение внешних факторов, воздействующих на процесс измерения. Случайная погрешность при проведении многократных измерений с достаточно большой степенью точности приводит к рассеянию результатов.
Промахи и грубые погрешности – это погрешности, намного превышающие предполагаемые в данных условиях проведения измерений систематические и случайные погрешности. Промахи и грубые погрешности могут появляться из-за грубых ошибок в процессе проведения измерения, технической неисправности средства измерения, неожиданного изменения внешних условий.
Ошибки измерений классифицируют по следующим видам:
Абсолютные и относительные.
Положительные и отрицательные.
Постоянные и пропорциональные.
Грубые, случайные и систематические.
Абсолютная ошибка единичного результата измерения (А y ) определяется как разность следующих величин:
А y = y i - y ист. » y i -`y .
Относительная ошибка единичного результата измерения (В y ) рассчитывается как отношение следующих величин:
Из этой формулы следует, что величина относительной ошибки зависит не только от величины абсолютной ошибки, но и от значения измеряемой величины. При неизменности измеряемой величины (y ) относительную ошибку измерения можно уменьшить только за счет снижения величины абсолютной ошибки (А y ). При постоянстве абсолютной ошибки измерения для уменьшения относительной ошибки измерения можно использовать прием увеличения значения измеряемой величины.
Пример. Допустим, что в магазине торговые весы имеют постоянную абсолютную ошибку измерения массы: A m = 10 г. Если Вы взвесите на таких весах 100 г конфет (m 1), то относительная ошибка измерения массы конфет составит:
.
При взвешивании на этих же весах 500 г конфет (m 2) относительная ошибка будет в пять раз меньше:
.
Таким образом, если Вы будете пять раз взвешивать по 100 г конфет, то вы из-за ошибки измерения массы, из 500 г недополучите суммарно 50 г продукта. При однократном взвешивании большей массы (500 г) Вы потеряете только 10 г конфет, т.е. в пять раз меньше.
Учитывая вышесказанное, можно отметить, что в первую очередь необходимо стремиться к уменьшению относительных ошибок измерения. Абсолютные и относительные ошибки можно рассчитать только после определения среднего арифметического значения результата измерения.
Знак ошибки (положительный или отрицательный) определяется разницей между единичным и фактическим результатом измерения:
y i -`y > 0 (ошибка положительная );
y i -`y < 0 (ошибка отрицательная ).
Если абсолютная ошибка измерения не зависит от значения измеряемой величины, то такая ошибка называется постоянной . В противном случае ошибка будет пропорциональной . Характер ошибки измерения (постоянная или пропорциональная) определяется после проведения специальных исследований.
Грубая ошибка измерения (промах) - это значительно отличающийся от других результат измерения, который обычно возникает при нарушении методики измерения. Наличие грубых ошибок измерения в выборке устанавливается только методами математической статистики (при n>2). С методами обнаружения грубых ошибок познакомьтесь самостоятельно в .
Деление ошибок на случайные и систематические достаточно условно.
К случайным ошибкам относят ошибки, которые не имеют постоянной величины и знака. Такие ошибки возникают под действием следующих факторов: неизвестных исследователю; известных, но нерегулируемых; постоянно изменяющихся.
Случайные ошибки можно оценить только после проведения измерений.
Количественной оценкой модуля величины случайной ошибки измерения могут являться следующие параметры: и др.
Случайные ошибки измерения невозможно исключить, их можно только уменьшить. Один из основных способов уменьшения величины случайной ошибки измерения - это увеличение числа единичных измерений (увеличение величины n). Объясняется это тем, что величина случайных ошибок обратно пропорциональна величине n, например:
Систематические ошибки - это ошибки с неизменными величиной и знаком или изменяющиеся по известному закону. Эти ошибки вызываются постоянными факторами. Систематические ошибки можно количественно оценивать, уменьшать и даже исключать.
Систематические ошибки классифицируют на ошибки I, II и III типов.
К систематическим ошибкам I типа относят ошибки известного происхождения, которые могут быть до проведения измерения оценены путем расчета. Эти ошибки можно исключить, вводя их в результат измерения в виде поправок. Примером ошибки такого типа является ошибка при титрометрическом определении объемной концентрации раствора, если титрант был приготовлен при одной температуре, а измерение концентрации проводилось при другой. Зная зависимость плотности титранта от температуры, можно до проведения измерения рассчитать изменение объемной концентрации титранта, связанное с изменением его температуры, и эту разницу учесть в виде поправки в результате измерения.
Систематические ошибки II типа - это ошибки известного происхождения, которые можно оценить только в ходе эксперимента или в результате проведения специальных исследований. К этому типу ошибок относят инструментальные (приборные), реактивные, эталонные и др. ошибки. Познакомьтесь с особенностями таких ошибок самостоятельно в .
Любой прибор при его применении в процедуре измерения вносит в результат измерения свои приборные ошибки. При этом часть этих ошибок случайная, а другая часть - систематическая. Случайные ошибки приборов отдельно не оценивают, их оценивают в общей совокупности со всеми другими случайными ошибками измерения.
Каждый экземпляр любого прибора имеет свою персональную систематическую ошибку. Для того чтобы оценить эту ошибку, необходимо проводить специальные исследования.
Наиболее надежный способ оценки приборной систематической ошибки II типа - это сверка работы приборов по эталонам. Для мерной посуды (пипеток, бюреток, цилиндров и др.) проводят специальную процедуру - калибровку.
На практике наиболее часто требуется не оценить, а уменьшить или исключить систематическую ошибку II типа. Самыми распространенными методами уменьшения систематических ошибок являются методы релятивизации и рандомизации .Познакомьтесь с этими методами самостоятельно в .
К ошибкам III типа относят ошибки неизвестного происхождения. Эти ошибки можно обнаружить только после устранения всех систематических ошибок I и II типов.
К прочим ошибкам отнесем все другие виды ошибок, не рассмотренные выше (допустимые, возможные предельные ошибки и др.). Понятие возможных предельных ошибок применяется в случаях использования средств измерения и предполагает максимально возможную по величине инструментальную ошибку измерения (реальное же значение ошибки может быть меньше величины возможной предельной ошибки).
При использовании средств измерения можно рассчитать возможные предельные абсолютную (П`y ,пр.) или относительную (Е`y ,пр.) погрешности измерения. Так, например, возможная предельная абсолютная погрешность измерения находится как сумма возможных предельных случайных (x ` y , случ., пр.) и неисключенных систематических (d`y , пр.) ошибок:
П`y ,пр.= x ` y , случ., пр. + d`y , пр.
При выборках малого объема (n £ 20) неизвестной генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения, случайные возможные предельные ошибки измерений можно оценить следующим образом:
x ` y
, случ., пр. = D`y
= S `y
½t P, n ½,
где t P,n - квантиль распределения (критерий) Стьюдента для вероятности Р и выборки объемом n. Абсолютная возможная предельная погрешность измерения в этом случае будет равна:
П`y ,пр.= S ` y ½t P, n ½+ d ` y , пр.
Если результаты измерений не подчиняются нормальному закону распределения, то оценка погрешностей проводится по другим формулам.
Определение величины d ` y ,пр. зависит от наличия у средства измерения класса точности. Если средство измерения не имеет класса точности, то за величину d ` y ,пр. можно принять минимальную цену деления шкалы средства измерения . Для средства измерения с известным классом точности за величину d ` y ,пр.можно принять абсолютную допустимую систематическую ошибку средства измерения (d y , доп.):
d ` y ,пр.» .
Величина d y , доп. рассчитывается исходя из формул, приведенных в табл.5.
Для многих средств измерения класс точности указывается в виде чисел а×10 n , где а равно 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 и n равно 1; 0; -1; -2 и т.д., которые показывают величину возможной предельной допускаемой систематической ошибки (Е y , доп.) и специальных знаков, свидетельствующих о ее типе (относительная, приведенная, постоянная, пропорциональная).
Таблица 5
Примеры обозначения классов точности средств измерения
