Основные признаки делимости

Правила деления на числа от 1 до 10, а также на 11 и 25 были выведены, чтобы упростить процесс деления натуральных чисел. Те из них, которые оканчиваются на 2, на 4, на 6, на 8, на 0 считаются четными.

Что же такое признаки делимости?

По сути это алгоритм, который позволяет быстро определить, будет ли число делиться на то, которое задано заранее. В случае, когда признак делимости дает возможность выяснить еще и остаток от деления, его называют признаком равноостаточности.

Признак делимости на цифру 2

Число можно разделить на два, если последняя его цифра четная или ноль. В других случаях разделить не удастся.

Например:

52 734 делится на 2, потому как его последняя цифра 4 - то есть четная. 7 693 не делится на цифру 2, так как 3 - нечетная. 1 240 делится, потому что последняя цифра ноль.

Признаки делимости на 3

Цифре 3 кратны только те числа, у которых сумма делится на 3

Пример:

17 814 можно разделить на цифру 3, потому что общая сумма его цифр равна 21 и на 3 делится.

Признак делимости на цифру 4

Число можно разделить на 4, если последние две его цифры ноли или могут образовать число, кратное 4. Во всех других случаях разделить не получится.

Примеры:

31 800 можно разделить на 4, потому как в конце него два ноля. 4 846 854 не делится на 4 из-за того, что последние две цифры образуют число 54, а оно на 4 не делится. 16 604 поддается делению на 4, потому что последние две цифры 04 образуют число 4, которое делится на 4.

Признак делимости на цифру 5

5 кратны числа, в которых последняя цифра ноль или пять. Все другие - не делятся.

Пример:

245 кратно 5, потому что последняя цифра 5. 774 не кратно 5 из-за того, что последняя цифра четыре.

Признак делимости на цифру 6

Число можно разделить на 6, если его можно одновременно разделить на 2 и 3. Во всех других случаях - не делится.

Например:

216 можно разделить на 6, потому что оно кратно и двум и трем.

Признак делимости на 7

Кратно 7 число в том случае, если при вычитании последней удвоенной цифры из этого числа, но без нее (без последней цифры) получилось значение, которое можно поделить на 7.

Например, 637 кратно 7, потому что 63-(2·7)=63-14=49. 49 можно разделить на.

Признак делимости на цифру 8

Похож на признак делимости на цифру 4. Число можно разделить на 8, если три (а не две, как в случае с четверкой) последние цифры нули или могут образовать число, кратное 8. Во всех других случаях - не делится.

Примеры:

456 000 можно разделить на 8, потому как в конце него три нуля. 160 003 не получится разделить на 8, потому что три последние цифры образуют число 4, которое не кратно 8. 111 640 кратно 8, потому что последние три цифры образуют число 640, которое можно поделить на 8.

К сведению: можно назвать такие же признаки и для совершения деления на числа 16, 32, 64 и так далее. Но на практике они значения не имеют.

Признак делимости на 9

9-ке кратны те числа, сумму цифр которых можно разделить на 9.

Например:

Число 111 499 на 9 не делится, потому что сумму цифр (25) на 9 не разделить. Число 51 633 можно разделить на 9, потому что его сумма цифр (18) 9-ти кратна.

Признаки делимости на 10, на 100 и на 1000

На 10 можно разделить те числа, последняя цифра у которых 0, на 100 -те, у которых последние две цифры ноли, на 1000 - те, у которых последние три цифры ноли.

Примеры:

4500 можно поделить на 10 и 100. 778 000 кратно и 10, и 100, и 1000.

Теперь вы знаете, какие признаки делимости чисел существуют. Успешных вам вычислений и не забывайте о главном: все эти правила даны для упрощения математических расчетов.

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.

Цель исследования: изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе.

Для достижения цели были поставлены задачи:

Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.

Найти универсальный признак делимости на любое натуральное число.

Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; опрос; анкетирование; систематизация и обобщение материала.

Гипотеза исследования: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.

Практическая значимость : материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 - 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Глава I. Определение и свойства делимости чисел

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.

Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка.

Свойства делимости:

Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.

Нуль делится на любое b, не равное нулю.

Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.

Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:

Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

2) Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число.

3) Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число.

4) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомился с понятием «цифровой кореньчисла» . Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»

Глава II. Признаки делимости натуральных чисел.

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:

Делимость на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная.

Делимость на 3 . Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)

Делимость на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).

Делимость на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).

Делимость на 10 . Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.

Поработав с различными источниками, я узнал другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.

Деление на 6 . Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)

Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.

Деление на 4 и на 25. Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4 или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к. оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 11 . Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11 (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.

Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13.

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.

Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Признак делимости на 30 .

Признак делимости на 59 . Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.

Признак делимости на 79 . Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.

Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.

Признак делимости на 100 . На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули.

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение 1)

2.3 Признаки делимости на 7.

1) Возьмем для испы-тания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 3 3 *5 + З 2 *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Этот признак ме-нее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый резуль-тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375.

5) Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить. Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма де-лится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.

6) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.

2.4.Признак Паскаля.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623-1662), французский математик и физик. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел". Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в , то и число а делится на в ». Знать его полезно даже в наши дни. Как же доказать сформулированные выше признаки делимости (например, знакомый нам признак делимости на 7)? Постараюсь ответить на этот вопрос. Но прежде условимся о способе записи чисел. Чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Теперь докажу сформулированный выше признак делимости на 7. Мы имеем:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(остатки от деления на 7).

В результате, мы получаем сформулированное выше 5-е правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (делится нацело на 7)

Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа А. Для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны 1 и - 1. А при т =7 коэффициенты получились сложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления до 100, я убедился, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 10 23 коэффициенты повторяются), 43 (с 10 39 коэффициенты повторяются).

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа - когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

2 группа - когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

3 группа - когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

4 группа - когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

Экспериментальная часть

Опрос

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 7-х классов. В опросе приняли участие 58 обучающихся МОБУ Караидельская СОШ № 1 МР Караидельский район РБ. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?

Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?

Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?

Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?

Результаты проведенного опроса показали, что 77% опрошенных считают, что существуют и другие признаки делимости кроме тех, которые изучаются в школе; Так не считают - 9%, затруднились ответить - 13% опрашиваемых. На второй вопрос «Хотели бы вы узнать признаки делимости для других натуральных чисел?» утвердительно ответили 33%, дали ответ «Нет» - 17% респондентов и затруднились ответить - 50%. На третий вопрос 100% опрашиваемых ответили утвердительно. На четвертый вопрос положительно ответили 89%, ответили «Нет» - 11% обучающихся, участвовавших в опросе в ходе проведения исследовательской работы.

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи:

изучен теоретический материал по данному вопросу;

кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнал, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.;

3) изучен признак Паскаля - универсальный признак делимости на любое натуральное число;

Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме, я убедился в том, что существуют признаки делимости и на другие натуральные числа. Например, на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что и подтвердило правильность выдвинутой мной гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Также я выяснил, что существует универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик паскаль Блез и опубликовал его в своем трактате «О характере делимости чисел». С помощью этого алгоритма, можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.

Список использованных источников

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Элиста.: Джангар, 1995. - 416 с.

Гарднер М. Математические досуги. / Под. Ред. Я.А.Смородинского. - М.: Оникс, 1995. - 496 с.

Гельфман Э.Г., Бек Е.Ф. и др. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6 класса. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. - 176с.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990. — 416 с.

Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение, 1984. - 289с.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.

Куланин Е.Д.Математика. Справочник. -М.: ЭКСМО-Пресс,1999-224с.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.

Тарасов Б.Н. Паскаль. -М.:Мол. Гвардия,1982.-334с.

http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

http://www.bymath.net (энциклопедия).

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

	Признак	Пример
	Число заканчивается на чётную цифру.	………………2(4,6,8,0)
	Сумма цифр делится на 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Число из двух последних его цифр нули или делится на 4.	………………12
	Число заканчивается на цифру 5 или 0.	………………0(5)
	Число заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.	375018: 8-четное число 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	36 — (2 × 4) = 28, 28:7
	Три его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 8.	……………..064
	Сумма его цифр числа делится на 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Число оканчивается на ноль	………………..0
	Сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.	2+1+6=9, 9:3 и 16:4
	Число десятков данного числа, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Число заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	364: 4 - четное число 36 — (2 × 4) = 28, 28:7
	Число 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Четыре его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 16.	…………..0032
	Число десятков данного числа, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17
	Число заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.	2034: 4 - четное число
	Число десятков данного числа, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19	64 + (6 × 2) = 76,
	Число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная	…………………40
	Число, состоящее из двух последних цифр делится на 25	…………….75
	Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3.	……………..360
	Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.	Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 67 = 118 и 11 + 68 = 59.
	Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79..	Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79
	Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).	Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.
на 125	Число, состоящее из трех последних цифр делится на 125	……………375

В этой статье мы рассмотрим признаки делимости чисел и как использовать признаки делимости при решении задач.

Признаки делимости чисел.

1. Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8. Числа, которые делятся на 2 называются четными, соответственно, числа, которые на 2 не делятся, называются нечетными.

2. Признак делимости на 5 . Число делится на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.

3. Признак делимости на 10 . Число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0.

Вообще, если двумя последними цифрами записи числа являются нули, то число делится на 100, если три последние цифры записи числа нули, то на 1000 и т.д.

4. Признак делимости на 4 . Если две последние цифры записи числа образуют число, которое делится на 4, то исходное число делится на 4.

Например, две последние цифры числа 2116 образуют число 16, которое делится на 4, следовательно, 2116 делится на 4.

5. Признак делимости на 3 и на 9 . Если сумма цифр числа делится на 3 (соответственно на 9), то число делится на 3 (соответственно на 9).

Например, число 312 делится на 2 (последняя цифра 2) и на 3 (сумма цифр делится на 3), и, следовательно, на 6.

Вообще, если числа - взаимно простые (то есть не имеют общих делителей) и данное число делится на каждое из этих чисел, то оно делится на произведение этих чисел

6. Признак делимости на 7 . Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.

Например, число 427 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 42, 42х3+7=126+7=133; 133 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 13, 13х3+3==39+3=42.

7. Признак делимости на 11 . Число делится на 11, если модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11, или если модуль разности равен нулю.

Например, число 12397 делится на 11, т.к. |(1+3+7)-(2+9)|=0

Чтобы установить делимость чисел, пользуются следующими признаками делимости суммы и произведения :

1. Сумма чисел делится на данное число, если каждое слагаемое суммы делится на это число.

2. Произведение чисел делится на данное число, если хотя бы один из множителей делится на это число.

Пример 1. Доказать, что число кратно 5.

Решение. Число кратно 5, если последняя цифра в записи числа равна 0 или 5.

Если число оканчивается цифрой 1, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 1, следовательно, число оканчивается цифрой 1.

Если число оканчивается цифрой 6, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 6, значит, число оканчивается цифрой 6.

Таким образом, разность оканчивается цифрой 5, и, следовательно, делится на 5.

Пример 2. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

а) 1. Число делится на 2 и 5, следовательно, последняя цифра - 0

2. Числа 2, 5, 9 и 11 не имеют общих делителей, следовательно искомое число должно делиться на произведение этих чисел, то есть на 990.

Наибольшее четырехзначное число, которое делится на 990 и оканчивается на 0 - это 9900.

По условию нам надо найти число, все цифры которого различны. Предыдущее число, которое делится на 2, 5, 9 и 11 равно 9900-990=8910. Это число удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 8910

Пример 3. Использовав все цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наибольшее девятизначное число, делящееся на 11.

Решение. В нашем числе модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места должен делиться на 11.

Число должно быть наибольшим, поэтом цифры, стоящие на первых местах должны быть наибольшими. Пусть число имеет вид Чтобы число делилось на 11, нужно, чтобы значение выражения было кратно 11 или равно нулю.

Упростим выражение, получим:

Поскольку - это цифры, и самые большие уже задействованы, скомбинируем цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы При этом числа в каждой группе: и должны быть расположены в порядке убывания. Подходит такая комбинация:

Ответ: 987652413

Признаками делимости пользуются при разложении числа на простые множители.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только 2 различных делителя: единицу и само число .

Например, простыми числами являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.

Внимание! Число 1 не является простым и не является составным.

Чтобы найти последовательность простых чисел, пользуются алгоритмом, который называется решето Эратосфена :

1. Выписываем ряд натуральных чисел:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...

2.Зачеркиваем числа, кратные числу 2 - каждое второе число после 2:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15, 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21, 22 , 23, 24 , 25,...

3. Зачеркиваем числа, кратные числу 3 - каждое третье число после 3:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25,...

4. Зачеркиваем числа, кратные числу 5 - каждое пятое число после 5:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 ,...

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ,...

Основная теорема арифметики:

Любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых сомножителей, причем единственным способом.

Пример 4. Разложить число 4356 на простые множители.

Решение: Применим признаки делимости. Последняя цифра записи числа - четная, разделим число на 2. Будем делить на 2, пока возможно делить нацело.

Число 1089 на 2 уже не делится, но делится на 3 (сумма цифр числа равна 18). Будем делить на 3, пока это возможно.

121 делится на 11.

Итак,

Это равенство называется разложением числа 4356 на простые множители.

Разложение на простые множители широко применяется при решении самых разных задач.

Пример 5. Сократить дробь

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Пример 6. Извлечь квадратный корень:

Воспользуемся разложением числа 4356 на простые множители:

Пример 7. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого - квадрат, треть - куб, а пятая часть - пятая степень.

Наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям представляет из себя произведение степеней чисел 2, 3, 5.

Пусть это число имеет вид:

а) Половина числа - квадрат, следовательно, n-1, m и k - четные числа.

б) Треть числа - куб, следовательно, n, m-1 и k делятся на 3.

в) Пятая часть числа - пятая степень, следовательно, n, m и k-1 - кратны 5.

k кратно 2 и 3, следовательно k может быть равно 6 (удовлетворяет а) и б) ), 6-1 делится на 5 (удовлетворяет в) ).

n кратно 3 и 5, следовательно, n может быть равно 15 (удовлетворяет в) и б) ), 15-1 делится на 2 (удовлетворяет а) ).

m - кратно 5 и 2, следовательно, m может быть равно 10 (удовлетворяет в) и а) ), 10-1 делится на 3 (удовлетворяет б) ).

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
Признак делимости на 7 часто пропускается;
Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

Для14: на 2 и на 7;
Для 15: на 3 и на 5;
Для 18: на 2 и на 9;
Для 21: на 3 и на 7;
Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
Для 24: на 3 и на 8;
Для 26: на 2 и на 13;
Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,