Теоретический материал по модулям "теория вероятности и математическая статистика". Закон распределения. Многоугольник распределения

Рассмотренный выше пример позволяет сделать вывод, что значения, используемые для анализа зависят от случайных причин, поэтому такие переменные величины называются случайными . В большинстве случаев они появляются в результате наблюдений или экспериментов, которые сводятся в таблицы, в первой строке которой записываются различные наблюдаемые значения случайной величины Х, а во второй – соответствующие частоты. Поэтому такая таблица называется эмпирическим распределением случайной величины Х или вариационным рядом . Для вариационного ряда мы находили среднее значение , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

непрерывной , если ее значения целиком заполняют некоторый числовой промежуток.

Случайная величина называется дискретной , если все ее значения можно занумеровать (в частности, если оно принимает конечное число значений).

Следует отметить два характерных свойства таблицы распределения дискретной случайной величины:

Все числа второй строки таблицы положительны;

Их сумма равна единице.

В соответствие с проведенными исследованиями можно предположить, что при увеличении числа наблюдений эмпирическое распределение приближается к теоретическому, заданному в табличной форме.

Важной характеристикой дискретной случайное величины является ее математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей значения , , …, .с вероятностями , , …, называется число:

Математическое ожидание также называют средним значением.

К другим важным характеристикам случайной величины относятся дисперсия (8) и среднее квадратическое отклонение (9).

где: математическое ожидание величины X.

. (9)

Графическое представление информации значительно нагляднее, чем табличное, поэтому возможность электронных таблиц MS Excel представлять размещенные в них данные в виде различных диаграмм, графиков и гистограмм используется очень часто. Так, помимо таблицы, распределение случайной величины изображают также с помощью многоугольника распределения . Для этого на координатной плоскости строят точки с координатами , , … и соединяют их прямыми отрезками.

Для получения прямоугольника распределения посредством MS Excel необходимо:

1. Выбрать на панели инструментов закладу «Вставка» ® «Диаграмма с областями».

2. Активизировать появившуюся на листе MS Excel область для диаграммы правой кнопкой мыши и в контекстном меню воспользоваться командой «Выбрать данные».

Рис. 6. Выбор источника данных

Сначала определим диапазон данных для диаграммы. Для этого в соответствующую область диалогового окна «Выбор источника данных» введем диапазон C6:I6 (в нем представлены значения частот под названием Ряд1, рис. 7).

Рис. 7. Добавление ряда 1

Для изменения названия ряда необходимо выбрать кнопку изменить область «Элементы легенды (ряды)» (см. рис. 7) и назвать его .

Для того, чтобы добавить подпись оси X необходимо воспользоваться кнопкой «Изменить» области «Подписи горизонтальной оси (категории)»
(рис. 8) и указать значения ряда (диапазон $C$6:$I$6).

Рис. 8. Окончательный вид окна диалога «Выбор источника данных»

Выбор кнопки в окне диалога «Выбор источника данных»
(рис. 8) позволит получить требуемый многоугольник распределения случайной величины (рис. 9).

Рис. 9. Многоугольник распределения случайной величины

Внесем некоторые изменения в дизайн полученной графической информации:

Добавим подпись оси Х;

Отредактируем подпись оси Y;

- добавим заголовок для диаграммы «Многоугольник распределения».

Для этого выберем в области панели инструментов закладку «Работа с диаграммами» закладку «Макет» и в появившейся панели инструментов соответствующие кнопки: «Название диаграммы», «Названия осей» (рис. 10).

Рис. 10. Итоговый вид многоугольника распределения случайной величины

Ответ: Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами:

Т. е. распределение вероятностей различных значений может быть задано таблицей распределения, в которой в верхней строке указываются все значения, принимаемые данной дискретной случайной величиной, а в нижней – вероятности соответствующих ей значений. Так как несовместные события (3.1) образуют полную группу, то , т. е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Распределение вероятностей непрерывных случайных величин нельзя представить в виде таблицы, так как число значений таких случайных величин бесконечно даже в ограниченном интервале. Кроме того, вероятность получить какое-либо определенное значение равна нулю. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т. е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения. Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины X. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	p 1	p 2	× × ×	p n

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Рис. 3.1

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 3.1). Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. он является одной из форм закона распределения. Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в n отдельных точках сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.

Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописны­ми латинскими буквами Х,У, Z,... (или строчными греческими буква­ми ξ (кси), η(эта), θ (тэта), ψ (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х 1 , х 2 ,…, у 1 , у 2 , у 3 …

Примерами с. в. могут служить: 1) X - число очков, появляющих­ся при бросании игральной кости; 2) У - число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z - время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в пар­тии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при слу­чайном выборе ее на , прибыль фирмы, ...).

Случайной величиной X Ώ w

X(w), т.е. X = X(w), w Î Ώ (или X = f (w)) (31)

Пример1. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС Ώ={ w 1 , w 2 , w 3 , w 4 }, где w 1 = ГГ, w 2 = ГР, w 3 = РГ, w 4 = РР, можно рассмотреть с. в. X - число появлений герба. С. в. X является функ­цией от элементарного события w i : X(w 1 ) = 2, X(w 2 ) = 1, X(w 3 ) = 1, X(w 4 )= 0; X - д. с. в. со значениями x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х < х).

X - д. с. в.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p i , где i = 1,2,3, ...,n,… .

Закон распределения д. с. в. p i =Р{Х=x i }, i=1,2,3,... ,n,...,

с. в. X x i . :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	p 1	p 2	….	p n	…

Так как события {X = x 1 }, {X = x 2 },…,{X = x n }, т.е. .

(x 1 , p 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) называют многоугольником (или полигоном) рас­пределения (см. рис. 17).

Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел x 1 , x 2 , ..., x n таких, что Р{Х = x i } = p i > 0 (i = 1,2,...) p 1 + p 2 + p 3 +…= 1 (32)

Суммой д. с. в. X, принимающей зна­чения x i с вероятностями p i = Р{Х = x i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, при­нимающей значения y j с вероятностями p i = Р{Y = y j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X + Y , принимающая значения z ij = x i + y j с вероятностями p ij = Р{ Х = x i ,Y = y j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм x i + y j соответствующие вероятности складываются.

Разностью д. с. в. X, принимающей зна­чения x i с вероятностями p i = Р{Х = x i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, при­нимающей значения y j с вероятностями p i = Р{Y = y j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X - Y, принимающая значения z ij = x i – y j с вероятностями p ij = Р{ Х = x i ,Y = y j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых разностей x i – y j соответствующие вероятности складываются.

Произведением д. с. в. X, принимающей зна­чения x i с вероятностями p i = Р{Х = x i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, при­нимающей значения y j с вероятностями p i = Р{Y = y j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X × Y, принимающая значения z ij = x i × y j с вероятностями p ij = Р{ Х = x i ,Y = y j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых произведений x i × y j соответствующие вероятности складываются.

д. с. в. сХ, с x i р i = Р{Х = x i }.

X и Y события {X = x i } = А i и {Y = y j } = В j независимы для любых i= 1,2,... ,n; j = l,2,...,m, т.е.

P{X = x i ;Y = y j } =P{X = x i } ×P {Y = y j } (33)

Пример 2. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные - чер­ные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное значение.

Количество студентов, присутствующих на лекции.

Количество домов, сданных в эксплуатацию в текущем месяце.

Температура окружающей среды.

Вес осколка разорвавшегося снаряда.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

В приведенных примерах: 1 и 2 – дискретные случайные величины, 3 и 4 – непрерывные случайные величины.

В дальнейшем, вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с. в.

Как правило, случайные величины будем обозначать большими буквами, а их возможные значения – маленькими.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: Х =φ(ω), где ω – элементарное событие принадлежащее пространству Ω (ω  Ω). При этом множество Ξ возможных значений с. в. Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал).

Формы задания законов распределения случайных величин. Ряд распределения.

Это таблица в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины Х: х 1 , х 2 , ..., х n , а в нижней – вероятности этих значений: p 1 , p 2 , ..., p n , где p i = Р{Х = x i }.

Так как события {Х = x 1 }, {Х = x 2 }, ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна единице

Ряд распеделения используется для задания закона распределения только дискретных случайных величин.

Многоугольник распределения

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: для каждого возможного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения с. в. Полученные точки для наглядности (и только для наглядности!) соединяются отрезками прямых.

Интегральная функция распределения (или просто функция распределения).

Это функция, которая при каждом значении аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина  окажется меньше, чем значение аргумента х.

Функция распределения обозначается F(x): F(x) = P {X  x}.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Функция распределения – это наиболее универсальная форма задания с. в., которая может использоваться для задания законов распределения как дискретных, так и непрерывных с. в.

Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать качественно и количественно. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение., причем заранее не известно какое именно.

Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)

Дискретными называются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить. Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности. Ряд и многоугольник распределения. Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения. Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 13.Дискретная случайная величина. Многоугольник распределения. Операции со случайными величинами, пример.:

1. 13. Дискретная случайная величина и закон ее распределения. Многоугольник распределения. Операции со случайными величинами. Пример.
2. Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
3. 14. Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (ДСВ). Способы здания случайных величин (СВ).
4. 16. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
5. Математические операции над дискретными случайными ве­личинами и примеры построения законов распределения для КХ,Х"1, X + К, XV по заданным распределениям независимых случай­ных величин X и У.
6. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случ. величины. Математич операции над случ. величинами.