Равномерно распределенная случайная величина может быть задана. Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины
Этот вопрос уже давно подробно изучен, и наиболее широкое распространение получил метод полярных координат, предложенный Джорджем Боксом, Мервином Мюллером и Джорджем Марсальей в 1958 году. Данный метод позволяет получить пару независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 следующим образом:
Где Z 0 и Z 1 - искомые значения, s = u 2 + v 2 , а u и v - равномерно распределенные на отрезке (-1, 1) случайные величины, подобранные таким образом, чтобы выполнялось условие 0 < s < 1.
Многие используют эти формулы, даже не задумываясь, а многие даже и не подозревают об их существовании, так как пользуются готовыми реализациями. Но есть люди, у которых возникают вопросы: «Откуда взялась эта формула? И почему получается сразу пара величин?». Далее я постараюсь дать наглядный ответ на эти вопросы.
Для начала напомню, что такое плотность вероятности, функция распределения случайной величины и обратная функция. Допустим, есть некая случайная величина, распределение которой задано функцией плотности f(x), имеющей следующий вид:
Это означает, что вероятность того, что значение данной случайной величины окажется в интервале (A, B), равняется площади затененной области. И как следствие, площадь всей закрашенной области должна равняться единице, так как в любом случае значение случайной величины попадет в область определения функции f.
Функция распределения случайной величины является интегралом от функции плотности. И в данном случае ее примерный вид будет такой:
Тут смысл в том, что значение случайной величины будет меньше чем A с вероятностью B. И как следствие, функция никогда не убывает, а ее значения лежат в отрезке .
Обратная функция - это функция, которая возвращает аргумент исходной функции, если в нее передать значение исходной функции. Например, для функции x 2 обратной будет функция извлечения корня, для sin(x) это arcsin(x) и т.д.
Так как большинство генераторов псевдослучайных чисел на выходе дают только равномерное распределение, то часто возникает необходимость его преобразования в какое-либо другое. В данном случае в нормальное Гауссовское:
Основу всех методов преобразования равномерного распределения в любое другое составляет метод обратного преобразования. Работает он следующим образом. Находится функция, обратная функции необходимого распределения, и в качестве аргумента передается в нее равномерно распределенная на отрезке (0, 1) случайная величина. На выходе получаем величину с требуемым распределением. Для наглядности привожу следующую картинку.
Таким образом, равномерный отрезок как бы размазывается в соответствии с новым распределением, проецируясь на другую ось через обратную функцию. Но проблема в том, что интеграл от плотности Гауссовского распределения вычисляется непросто, поэтому вышеперечисленным ученым пришлось схитрить.
Существует распределение хи-квадрат (распределение Пирсона), которое представляет собой распределение суммы квадратов k независимых нормальных случайных величин. И в случае, когда k = 2, это распределение является экспоненциальным.
Это означает, что если у точки в прямоугольной системе координат будут случайные координаты X и Y, распределенные нормально, то после перевода этих координат в полярную систему (r, θ) квадрат радиуса (расстояния от начала координат до точки) будет распределен по экспоненциальному закону, так как квадрат радиуса - это сумма квадратов координат (по закону Пифагора). Плотность распределения таких точек на плоскости будет выглядеть следующим образом:
Так как она равноценна во всех направлениях, угол θ будет иметь равномерное распределение в диапазоне от 0 до 2π. Справедливо и обратное: если задать точку в полярной системе координат с помощью двух независимых случайных величин (угла, распределенного равномерно, и радиуса, распределенного экспоненциально), то прямоугольные координаты этой точки будут являться независимыми нормальными случайными величинами. А экспоненциальное распределение из равномерного получить уже гораздо проще, с помощью того же метода обратного преобразования. В этом и заключается суть полярного метода Бокса-Мюллера.
Теперь выведем формулы.
(1)
Для получения r и θ нужно сгенерировать две равномерно распределенные на отрезке (0, 1) случайные величины (назовем их u и v), распределение одной из которых (допустим v) необходимо преобразовать в экспоненциальное для получения радиуса. Функция экспоненциального распределения выглядит следующим образом:
Обратная к ней функция:
Так как равномерное распределение симметрично, то аналогично преобразование будет работать и с функцией
Из формулы распределения хи-квадрат следует, что λ = 0,5. Подставим в эту функцию λ, v и получим квадрат радиуса, а затем и сам радиус:
Угол получим, растянув единичный отрезок до 2π:
Теперь подставим r и θ в формулы (1) и получим:
(2)
Эти формулы уже готовы к использованию. X и Y будут независимы и распределены нормально с дисперсией 1 и математическим ожиданием 0. Чтобы получить распределение с другими характеристиками достаточно умножить результат функции на среднеквадратическое отклонение и прибавить математическое ожидание.
Но есть возможность избавиться от тригонометрических функций, задав угол не прямо, а косвенно через прямоугольные координаты случайной точки в круге. Тогда через эти координаты можно будет вычислить длину радиус-вектора, а потом найти косинус и синус, поделив на нее x и y соответственно. Как и почему это работает?
Выберем случайную точку из равномерно распределенных в круге единичного радиуса и обозначим квадрат длины радиус-вектора этой точки буквой s:
Выбор осуществляется заданием случайных прямоугольных координат x и y, равномерно распределенных в интервале (-1, 1), и отбрасыванием точек, которые не принадлежат кругу, а также центральной точки, в которой угол радиус-вектора не определен. То есть должно выполниться условие 0 < s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Получаем формулы, как в начале статьи. Недостаток этого метода - отбрасывание точек, не вошедших в круг. То есть использование только 78,5% сгенерированных случайных величин. На старых компьютерах отсутствие тригонометрических функций всё равно давало большое преимущество. Сейчас, когда одна команда процессора за мгновение вычисляет одновременно синус и косинус, думаю, эти методы могут еще посоревноваться.
Лично у меня остается еще два вопроса:
- Почему значение s распределено равномерно?
- Почему сумма квадратов двух нормальных случайных величин распределена экспоненциально?
Если аналогичное преобразование сделать для нормальной случайной величины, то функция плотности ее квадрата окажется похожей на гиперболу. А сложение двух квадратов нормальных случайных величин уже гораздо более сложный процесс, связанный с двойным интегрированием. И то, что в результате получится экспоненциальное распределение, лично мне тут остаётся проверить практическим методом или принять как аксиому. А кому интересно, предлагаю ознакомиться с темой поближе, почерпнув знаний из этих книжек:
- Вентцель Е.С. Теория вероятностей
- Кнут Д.Э. Искусство Программирования, том 2
В заключение приведу пример реализации генератора нормально распределенных случайных чисел на языке JavaScript:
Function Gauss() {
var ready = false;
var second = 0.0;
this.next = function(mean, dev) {
mean = mean == undefined ? 0.0: mean;
dev = dev == undefined ? 1.0: dev;
if (this.ready) {
this.ready = false;
return this.second * dev + mean;
}
else {
var u, v, s;
do {
u = 2.0 * Math.random() - 1.0;
v = 2.0 * Math.random() - 1.0;
s = u * u + v * v;
} while (s > 1.0 || s == 0.0);
var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s);
this.second = r * u;
this.ready = true;
return r * v * dev + mean;
}
};
}
g = new Gauss(); // создаём объект
a = g.next(); // генерируем пару значений и получаем первое из них
b = g.next(); // получаем второе
c = g.next(); // снова генерируем пару значений и получаем первое из них
Параметры mean (математическое ожидание) и dev (среднеквадратическое отклонение) не обязательны. Обращаю ваше внимание на то, что логарифм натуральный.
Глава 6. Непрерывные случайные величины.
§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.
Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла
Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .
Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :
1..gif" width="97" height="51">
3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .
4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :
5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:
График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.
Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .
Решение. Константа C находится из условия Имеем:
откуда C=3/8.
Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">
так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае
Наконец, в последнем случае, когда x>2,
Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения
Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,
§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.
Дисперсия
x может быть вычислена по формуле 
, а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
И значит,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
График плотности равномерного распределения см. на рис. .
Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона
Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна
Fx(x)= 
Математическое ожидание и дисперсия ; .
Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна
рx(x)=
Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.
Функция распределения показательного распределения имеет вид
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна
.
Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .
Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна
.
Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона
Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
а функция распределения
Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа
,
следующим соотношением 
. В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:
.
Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле
.
Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.
Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.
Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.
Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.
Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .
В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями
Fx(x)=P(x
Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .
Решение. Из условия задачи следует, что
Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию 
, производная которой равна Следовательно,
§ 5. Пара непрерывных случайных величин
Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.
Совместной функцией распределения
случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью
распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что 
.
Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">
Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:
Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.
Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна
Событие соответствует множеству 
на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность
На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому
Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что
Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?
Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .
Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:
.
Представив треугольник в виде
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин
Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .
Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны
Следовательно,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Таким образом, мы получили ответ:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения
.
Найти функцию распределения и плотность распределения величин:
а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }
Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин
x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.
Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.
Вычислительные задачи.
Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке . 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность 
Плотность распределения случайной величины имеет вид: 
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения
Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна
.
Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность
Р (0,25 Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности р(х) = Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = . Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения F(x) = P(x Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной
случайной величины
Х являются: Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности
и числовые характеристики рассматриваемых функций. Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что
пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того,
что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира. Решение.
1. По условию задачи непрерывная случайная величина
X={время ожидания пассажира} равномерно распределена
между приходами
двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7. 2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7).
Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в
интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени
ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2
. М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5. 5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины
X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3
. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02. Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для
функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в
интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить
M(X), D(X), σ(X). Решение.
1. Поскольку по условию задано показательное
распределение
, то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X
получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид: 2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить
по формуле: 3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞. 4. Находим для показательного распределения: Равномерным считается распределение, при котором все значения случайной величины (в области ее существования, к примеру, в интервале ) равновероятны. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид: Плотность распределения: Рис. Графики функции распределения (слева) и плотности распределения (справа). Равномерное распределение - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Равномерное распределение" 2017, 2018. Основные дискретные распределения случайных величин
Определение 1. Случайная величина Х, принимающая значения 1, 2, …, n, имеет равномерное распределение, если Pm = P(Х = m) = 1/n,
m = 1, …, n.
Очевидно, что.
Рассмотрим следующую задачу.В урне имеется N шаров, из них M шаров белого... . Законы распределения непрерывных случайных величин
Определение 5. Непрерывная случайная величина Х, принимающая значение на отрезке , имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид. (1)
Нетрудно убедиться, что,
.
Если случайная величина... . Равномерным считается распределение, при котором все значения случайной величины (в области ее существования, например, в интервале ) равновероятны. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид:
Плотность распределения:
F(x) f(x)
1
0 a b x 0 a b x
... . Нормальный законы распределения
Равномерный, показательный и
Функция плотности вероятности равномерного закона такова:
(10.17)
где a и b – данные числа, a < b; a и b – это параметры равномерного закона.
Найдем функцию распределения F(x)... . Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:
где N – количество... . Определение 16.Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если на этом отрезке плотность распределения данной случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, то есть
(45)
График плотности для равномерного распределения изображен... Перейдем теперь
к часто используемым на практике
распределениям непрерывной случайной
величины. Непрерывная с.в.
Х
называется равномерно
распределенной
на отрезке [a
,
b
],
если плотность ее вероятности постоянна
на этом отрезке, а вне его равна 0 (т.е.
случайная величина Х
сосредоточена на отрезке [a
,
b
],
на котором имеет постоянную плотность).
По данному определению плотность
равномерно распределенной на отрезке
[a
,
b
]
случайной величины Х
имеет вид: где с
есть некоторое число. Впрочем, его легко
найти, используя свойство плотности
вероятности для с.в., сосредоточенных
на отрезке
[a
,
b
]:
Судить о равномерности
распределения н.с.в. Х
можно из следующего соображения.
Непрерывная случайная величина имеет
равномерное распределение на отрезке
[a
,
b
],
если она принимает значения только из
этого отрезка, и любое число из этого
отрезка не имеет преимущества перед
другими числами этого отрезка в смысле
возможности быть значением этой случайной
величины. К случайным
величинам, имеющим равномерное
распределение относятся такие величины,
как время ожидания транспорта на
остановке (при постоянном интервале
движения длительность ожидания равномерно
распределена на этом интервале), ошибка
округления числа до целого (равномерно
распределена на [−0.5,
0.5
]) и другие. Вид функции
распределения F
(x
)
a
,
b
]
случайной величины Х
ищется по известной плотности вероятности
f
(x
)
c
помощью формулы их связи
На рисунках
приведены графики плотности вероятности
f
(x
)
и функции распределения f
(x
)
равномерно
распределенной отрезке [a
,
b
]
случайной величины Х
: Математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение, мода и медиана равномерно
распределенной отрезке [a
,
b
]
случайной величины Х
вычисляются по плотности вероятности
f
(x
)
обычным образом (и достаточно просто
из-за простого вида f
(x
)
).
В результате получаются следующие
формулы: а модой d
(X
)
является любое число отрезка [a
,
b
]. Найдем вероятность
попадания равномерно распределенной
отрезке [a
,
b
]
случайной величины Х
в интервал
Таким образом,
вероятность попадания равномерно
распределенной отрезке [a
,
b
]
случайной величины Х
в интервал
Пример
.
Интервал движения автобуса составляет
10 минут. Какова вероятность того, что
пассажир, подошедший к остановке, прождет
автобус менее 3 минут? Каково среднее
время ожидания автобуса? Это распределение
наиболее часто встречается на практике
и играет исключительную роль в теории
вероятностей и математической статистике
и их приложениях, поскольку такое
распределение имеют очень многие
случайные величины в естествознании,
экономике, психологии, социологии,
военных науках и так далее. Данное
распределение является предельным
законом, к которому приближаются (при
определенных естественных условиях)
многие другие законы распределения. С
помощью нормального закона распределения
описываются также явления, подверженные
действию многих независимых случайных
факторов любой природы и любого закона
их распределения. Перейдем к определениям. Непрерывная
случайная величина называется
распределенной по нормальному
закону (или закону Гаусса)
,
если ее плотность вероятности имеет
вид: где числа а
и σ
(σ>0
)
являются параметрами этого распределения. Как уже было
сказано, закон Гаусса распределения
случайных величин имеет многочисленные
приложения. По этому закону распределены
ошибки измерений приборами, отклонение
от центра мишени при стрельбе, размеры
изготовленных деталей, вес и рост людей,
годовое количество осадков, количество
новорожденных и многое другое. Приведенная
формула плотности вероятности нормально
распределенной случайной величины
содержит, как было сказано, два параметра
а
и σ
, а потому задает семейство функций,
меняющихся в зависимости от значений
этих параметров. Если применить обычные
методы математического анализа
исследования функций и построения
графиков к плотности вероятности
нормального распределения, то можно
сделать следующие выводы. являются точками
его перегиба. Исходя из полученной
информации, строим график плотности
вероятности f
(x
)
нормального распределения (он называется
кривой Гаусса − рисунок). Выясним, как влияет
изменение параметров а
и σ
на форму кривой Гаусса. Очевидно (это
видно из формулы для плотности нормального
распределения), что изменение параметра
а
не меняет форму кривой, а приводит лишь
к ее сдвигу вправо или влево вдоль оси
х
.
Зависимость от σ
сложнее. Из проведенного выше исследования
видно, как зависит величина максимуму
и координаты точек перегиба от параметра
σ
. К тому же надо учесть, что при любых
параметрах а
и σ
площадь под кривой Гаусса остается
равной 1 (это общее свойство плотности
вероятности). Из сказанного следует,
что с ростом параметра σ
кривая становится более пологой и
вытягивается вдоль оси х
.
На рисунке изображены кривые Гаусса
при различных значениях параметра σ
(σ
1
<
σ< σ
2
) и одном и
том же значении параметра а
. Выясним вероятностный
смысл параметров а
и σ
нормального распределения. Уже из
симметричности кривой Гаусса относительно
вертикальной прямой, проходящей через
число а
на оси х
понятно, что среднее значение (т.е.
математическое ожидание М(Х)
)
нормально распределенной случайной
величины равно а
.
Из этих же соображений мода и медиана
тоже должны быть равны числу а. Точные
расчеты по соответствующим формулам
это подтверждают. Если же мы выписанное
выше выражение для f
(x
)
подставим в формулу для дисперсии
Поэтому вероятностный
смысл параметров нормального распределения
а
и σ
следующий. Если с.в. Х
а
и σ
а
σ.
Найдем теперь
функцию распределения F
(x
)
для случайной величины Х
,
распределенной по нормальному закону,
используя выписанное выше выражение
для плотности вероятности f
(x
)
и формулу
где Ф(х)
− так называемая функция
Лапласа
,
которая имеет вид Интеграл, через
который выражается функция Лапласа,
тоже является неберущимися (но при
каждом х
этот интеграл может быть вычислен
приближенно с любой наперед заданной
точностью). Однако вычислять его и не
потребуется, так как в конце любого
учебника по теории вероятностей есть
таблица для определения значений функции
Ф(х)
при заданном значении х
.
В дальнейшем нам понадобится свойство
нечетности функции Лапласа: Ф(−х)=
−Ф(х)
для всех
чисел х
. Найдем теперь
вероятность того, что нормально
распределенная с.в. Х
примет значение из заданного числового
интервала (α,
β)
. Из общих
свойств функции распределения Р(α<
X
<
β)=
F
(β)
−
F
(α)
.
Подставляя α
и
β
в выписанное
выше выражение для F
(x
)
,
получим Как сказано выше,
если с.в. Х
распределена нормально с параметрами
а
и σ
,
то ее среднее значение равно а
,
а среднее квадратическое отклонение
равно σ.
Поэтому среднее
отклонение значений этой с.в. при
испытании от числа а
равно σ.
Но
это среднее отклонение. Поэтому возможны
и бо´льшие отклонения. Узнаем, насколько
возможны те или иные отклонения от
среднего значения. Найдем вероятность
того, что значение распределенной по
нормальному закону случайной величины
Х
отклониться от ее среднего значения
М(Х)=а
менее, чем на некоторое число δ, т.е.
Р
(|
X
−
a
|<δ
) :
.
Таким образом, Подставляя в это
равенство δ=3σ
,
получим вероятность того, что значение
с.в. Х
(при одном испытании) отклонится от
среднего значения менее чем на утроенное
значение σ
(при среднем отклонении, как мы помним,
равном σ
):
(значениеФ(3)
взято из таблицы значений функции
Лапласа). Это почти 1
! Тогда
вероятность противоположного события
(что значение отклонится не менее, чем
на 3σ
)
равна 1
−0.997=0.003
,
что очень близко к 0
.
Поэтому это событие «почти невозможно»
−
случается крайне редко (в среднем 3
раза из 1000
).
Это рассуждение является обоснованием
широко известного «правила трех сигм». Правило трех
сигм
. Нормально
распределенная случайная величина при
единичном испытании
практически не отклоняется от своего
среднего далее, чем на 3σ
. Еще раз подчеркнем,
что речь идет об одном испытании. Если
испытаний случайной величины много, то
вполне возможно, что какое-либо ее
значение и удалится от среднего далее,
чем 3σ
.
Это подтверждает следующий Пример
.
Какова вероятность, что при 100 испытаниях
нормально распределенной случайной
величины Х
хотя бы одно ее значение отклонится от
среднего более, чем на утроенное среднее
квадратическое отклонение? А при 1000
испытаниях? Решение. Пусть
событие А
означает, что при испытании случайной
величины Х
ее значение отклонилось от среднего
более, чем на 3σ.
Как только
что было выяснено, вероятность этого
события
р=Р(А)=0.003 .
Проведено
100 таких испытаний. Надо узнать вероятность
того, что событие А
произошло хотя
бы
раз, т.е.
произошло от 1
до 100
раз. Это типичная задача схемы Бернулли
с параметрами n
=100
(число независимых испытаний), р=0.003
(вероятность события А
в одном испытании), q
=1−
p
=0.997
.
Требуется найти Р
100
(1≤
k
≤100)
.
В данном случае, конечно, проще найти
сначала вероятность противоположного
события Р
100
(0)
− вероятность того, что событие А
не произошло ни разу (т.е. произошло 0
раз) . Учитывая связь вероятностей самого
события и ему противоположного, получим: Не так уж мало.
Вполне может произойти (происходит в
среднем в каждой четвертой такой серии
испытаний). При 1000
испытаний по такой же схеме можно
получить, что вероятность хотя бы одного
отклонения далее, чем на 3σ
,
равно:
. Так что можно с большой уверенностью
дождаться хотя бы одного такого
отклонения. Пример
.
Рост
мужчин определенной возрастной группы
распределен нормально с математическим
ожиданием a
,
и среднеквадратическим отклонением σ
.
Какую долю костюмов k
-го
роста следует предусмотреть в общем
объеме производства для данной возрастной
группы, если k
-ый
рост определяется следующими пределами: 1
рост:
158
−
164см
2
рост:
164 − 170см
3
рост:
170 − 176см
4
рост:
176 − 182см
Решение.
Решим задачу при следующих значениях
параметров: а=178,
σ=6,
k
=3
.
Пусть
с.в. Х
−
рост случайно выбранного мужчины (она
распределена по условию нормально с
заданными параметрами). Найдем вероятность
того, что наугад выбранному мужчине
понадобится 3
-й
рост. Пользуясь нечетностью функции
Лапласа Ф(х)
и таблицей ее значений:
P(170
.
. Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р
, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность
. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна 
.
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти
Показатель
Раномерный закон распределения
Показательный закон распределения
Определение
Равномерным называется
распределение
вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное
значение на отрезке и имеет вид
Показательным (экспоненциальным) называется
распределение
вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения
Вероятность
попадания в интервал
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный
законы распределения»
Задача 1.
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.Задача 2.
P(a < X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
1
.
Отсюда следует, что
,
откуда
.
Поэтомуплотность
равномерно распределенной на отрезке
[a
,
b
]
случайной величины Х
имеет вид:
.
.
В результате соответствующих вычислений
получаем следующую формулу для функции
распределенияF
(x
)
равномерно распределенной отрезке
[a
,
b
]
случайной величины Х
:
.
,
полностью лежащий внутри [a
,
b
].
Учитывая известный вид функции
распределения, получаем:
,
полностью лежащий внутри [a
,
b
],
не зависит от положения этого интервала,
а зависит только от его длины и прямо
пропорциональна этой длине.Нормальное распределение
,
,
то после (достаточно непростого)
вычисления интеграла получим в ответе
числоσ
2
.
Таким образом, для случайной величины
Х
,
распределенной по нормальному закону,
получились следующие основные ее
числовые характеристики:
.
При подстановкеf
(x
)
получается «неберущийся» интеграл.
Все, что удается сделать для упрощения
выражения для F
(x
),
это представление этой функции в виде:
,
.
.
.
