Корреляционный анализ: основное определение и сферы применения. Корреляции в дипломных работах по психологии

Понятие взаимосвязи довольно распространено в психологических исследованиях. С ним приходится оперировать психологу тогда, когда появляется необходимость сопоставить измерения двух или нескольких показателей признаков или явлений, чтобы сделать какие-либо выводы.

Характер взаимосвязи между изучаемыми явлениями может быть однозначным, т.е. таким, когда определенному значению одною признака соответствует четкое и определенное значение другого. Так, например, в субтесте на поиск закономерностей тестов психических функций количество набранных «сырых» баллов определяется по формуле:
Xi = Sтз - Sоз / Sтз + Sпз * Sbс,
где Xi - значение варианты, Sтз - количество априорно заданных закономерностей (соответствий) в субтесте, Sоз - количество ошибочно указанных соответствий испытуемым, Sоз - количество не указанных (пропущенных) соответствий испытуемым, Sbс - количество всех просмотренных испытуемыми слов в тесте.

Такая взаимосвязь получила название функциональной: здесь один показатель является функцией другого, который представляет собой аргумент по отношению к первому.

Однако однозначная четкая взаимосвязь встречается не всегда. Чаще приходится сталкиваться с таким положением, при котором одному значению признака могут соответствовать несколько значений другого. Эти значения варьируют в пределах более или менее очерченных границ. Такой вид взаимосвязи получил название корреляционной или соотносительной.

Применяется несколько видов выражения корреляционной взаимосвязи. Так, для выражения взаимосвязи между признаками, имеющими количественный характер варьирования своих значений, используют меры центральной тенденции: табулирование с последующим вычислением коэффициента парной корреляции, коэффициент множественной и частной корреляции, коэффициент множественной детерминации, корреляционное отношение.

Если необходимо изучить взаимосвязь между признаками, варьирование которых носит качественный характер (результаты проективных методов исследования личности, исследования по методу Семантического дифференциала, исследования с использованием Открытых шкал и т.д.), то используют коэффициент качественной альтернативной корреляции (тетрахорический показатель), критерий Пирсона x2, показатели сопряженности (контингенции) Пирсона и Чупрова.

Для определения качественно-количественной корреляции, т.е. такой корреляции, когда один признак имеет качественное варьирование, а другой - количественное.применяются специальные методы.

Коэффициент корреляции (термин впервые введен Ф. Гальто-ном в 1888 г.) - показатель силы связи между двумя сопоставляемыми вариантами выборки (выборок). По какой бы формуле не вычислялся коэффициент корреляции, его величина колеблется в пределах от -1 до +1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной - минус 1. Обычно это прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных.

Если значения вариант не выстраиваются на прямой, а образуют «облако», то коэффициент корреляции по абсолютной величине становится меньше единицы и по мере округления «облака» приближается к нулю. Если коэффициент корреляции равен 0, обе варианты полностью независимы друг от друга.

Всякое вычисленное (эмпирическое) значение коэффициента корреляции должно быть проверено на достоверность (статистическую значимость) по соответствующим таблицам критических значений коэффициента корреляции. Если эмпирическое значение меньше или равно табличному для 5-процентного уровня (Р = 0,05), корреляция не является значимой. Если вычисленное значение коэффициента корреляции больше табличного для Р = 0,01, корреляция статистически значима (достоверна).

В случае, когда величина коэффициента заключена между 0,05 > Р > 0.01, на практике говорят о значимости корреляции для Р = 0,05.

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона (г) - это предложенный в 1896 г. параметрический показатель, для вычисления которого сравнивают средние арифметические и средние квадратические значения вариант. Для вычисления этого коэффициента применяют следующую формулу (у разных авторов она может выглядеть по-разному):
r= (E Xi Xi1) - NXap X1ap / N-1 Qx Qx1,

где E Xi Xi1 - сумма произведений значений попарно сопоотавимых вариантов, n-колличество сравниваемых пар, NXap, X1ap - средние арифметические вариант Xi, Xi; соответственно, Qx, Qx, -средние квадратические отклонения распределений х и х.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена Rs (коэффициент ранговой корреляции, коэффициент Спирмена) является простейшей формой коэффициента корреляции и измеряет связь между рангами (местами) данной варианты по разным признакам, не учитывая ее собственного значения. Здесь исследуется скорее качественная связь, чем количественная.

Обычно этот непараметрический критерий используется в случаях, когда нужно сделать выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах, а также тогда, когда кривые распределения крайне асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии, как коэффициент корреляции Браве-Пирсона (в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые). Если коэффициент Rs близок к +1, то это означает, что два ряда ранжированной по тем или иным признакам выборки практически совпадают, а если этот коэффициент близок к - 1, можно говорить о полной обратной зависимости.

Как и вычисление коэффициента корреляции Браве-Пирсона, вычисления коэффициента Rs удобнее представлять в табличной форме.

Регрессия обобщает понятие функциональной взаимосвязи на случай стохастического (вероятностного) характера зависимости между значениями вариант. Целью решения категории регрессионных задач является оценка значения непрерывной выходной вариативности по значениям входных вариант.

Дата публикации: 03.09.2017 13:01

Термин «корреляция» активно используется в гуманитарных науках, медицине; часто мелькает в СМИ. Ключевую роль корреляции играют в психологии. В частности, расчет корреляций выступает важным этапом реализации эмпирического исследования при написании ВКР по психологии.

Материалы по корреляциям в сети слишком научны. Неспециалисту трудно разобраться в формулах. В то же время понимание смысла корреляций необходимо маркетологу, социологу, медику, психологу - всем, кто проводит исследования на людях.

В этой статье мы простым языком объясним суть корреляционной связи, виды корреляций, способы расчета, особенности использования корреляции в психологических исследованиях, а также при написании дипломных работ по психологии.

Содержание

Что такое корреляция

Корреляция - это связь. Но не любая. В чем же ее особенность? Рассмотрим на примере.

Представьте, что вы едете на автомобиле. Вы нажимаете педаль газа - машина едет быстрее. Вы сбавляете газ - авто замедляет ход. Даже не знакомый с устройством автомобиля человек скажет: «Между педалью газа и скоростью машины есть прямая связь: чем сильнее нажата педаль, тем скорость выше».

Это зависимость функциональная - скорость выступает прямой функцией педали газа. Специалист объяснит, что педаль управляет подачей топлива в цилиндры, где происходит сжигание смеси, что ведет к повышению мощности на вал и т.д. Это связь жесткая, детерминированная, не допускающая исключений (при условии, что машина исправна).

Теперь представьте, что вы директор фирмы, сотрудники которой продают товары. Вы решаете повысить продажи за счет повышения окладов работников. Вы повышаете зарплату на 10%, и продажи в среднем по фирме растут. Через время повышаете еще на 10%, и опять рост. Затем еще на 5%, и опять есть эффект. Напрашивается вывод - между продажами фирмы и окладом сотрудников есть прямая зависимость - чем выше оклады, тем выше продажи организации. Такая же это связь, как между педалью газа и скоростью авто? В чем ключевое отличие?

Правильно, между окладом и продажами заисимость не жесткая. Это значит, что у кого-то из сотрудников продажи могли даже снизиться, невзирая на рост оклада. У кого-то остаться неизменными. Но в среднем по фирме продажи выросли, и мы говорим - связь продаж и оклада сотрудников есть, и она корреляционная.

В основе функциональной связи (педаль газа - скорость) лежит физический закон. В основе корреляционной связи (продажи - оклад) находится простая согласованность изменения двух показателей. Никакого закона (в физическом понимании этого слова) за корреляцией нет. Есть лишь вероятностная (стохастическая) закономерность.

Численное выражение корреляционной зависимости

Итак, корреляционная связь отражает зависимость между явлениями. Если эти явления можно измерить, то она получает численное выражение.

Например, изучается роль чтения в жизни людей. Исследователи взяли группу из 40 человек и измерили у каждого испытуемого два показателя: 1) сколько времени он читает в неделю; 2) в какой мере он считает себя благополучным (по шкале от 1 до 10). Ученые занесли эти данные в два столбика и с помощью статистической программы рассчитали корреляцию между чтением и благополучием. Предположим, они получили следующий результат -0,76. Но что значит это число? Как его проинтерпретировать? Давайте разбираться.

Полученное число называется коэффициентом корреляции. Для его правильной интерпретации важно учитывать следующее:

Знак «+» или «-» отражает направление зависимости.
Величина коэффициента отражает силу зависимости.

Прямая и обратная

Знак плюс перед коэффициентом указывает на то, что связь между явлениями или показателями прямая. То есть, чем больше один показатель, тем больше и другой. Выше оклад - выше продажи. Такая корреляция называется прямой, или положительной.

Если коэффициент имеет знак минус, значит, корреляция обратная, или отрицательная. В этом случае чем выше один показатель, тем ниже другой. В примере с чтением и благополучием мы получили -0,76, и это значит, что, чем больше люди читают, тем ниже уровень их благополучия.

Сильная и слабая

Корреляционная связь в численном выражении - это число в диапазоне от -1 до +1. Обозначается буквой «r». Чем выше число (без учета знака), тем корреляционная связь сильнее.

Чем ниже численное значение коэффициента, тем взаимосвязь между явлениями и показателями меньше.

Максимально возможная сила зависимости - это 1 или -1. Как это понять и представить?

Рассмотрим пример. Взяли 10 студентов и измерили у них уровень интеллекта (IQ) и успеваемость за семестр. Расположили эти данные в виде двух столбцов.

Испытуемый	IQ	Успеваемость (баллы)

Посмотрите внимательно на данные в таблице. От 1 до 10 испытуемого растет уровень IQ. Но также растет и уровень успеваемости. Из любых двух студентов успеваемость будет выше у того, у кого выше IQ. И никаких исключений из этого правила не будет.

Перед нами пример полного, 100%-но согласованного изменения двух показателей в группе. И это пример максимально возможной положительной взаимосвязи. То есть, корреляционная зависимость между интеллектом и успеваемостью равна 1.

Рассмотрим другой пример. У этих же 10-ти студентов с помощью опроса оценили, в какой мере они ощущают себя успешными в общении с противоположным полом (по шкале от 1 до 10).

Испытуемый	IQ	Успех в общении с противоположным полом (баллы)

Смотрим внимательно на данные в таблице. От 1 до 10 испытуемого растет уровень IQ. При этом в последнем столбце последовательно снижается уровень успешности общения с противоположным полом. Из любых двух студентов успех общения с противоположным полом будет выше у того, у кого IQ ниже. И никаких исключений из этого правила не будет.

Это пример полной согласованности изменения двух показателей в группе - максимально возможная отрицательная взаимосвязь. Корреляционная связь между IQ и успешностью общения с противоположным полом равна -1.

А как понять смысл корреляции равной нулю (0)? Это значит, связи между показателями нет. Еще раз вернемся к нашим студентам и рассмотрим еще один измеренный у них показатель - длину прыжка с места.

Испытуемый	IQ	Длина прыжка с места (м)

Не наблюдается никакой согласованности между изменением IQ от человека к человеку и длинной прыжка. Это и свидетельствует об отсутствии корреляции. Коэффициент корреляции IQ и длины прыжка с места у студентов равен 0.

Мы рассмотрели крайние случаи. В реальных измерениях коэффициенты редко бывают равны точно 1 или 0. При этом принята следующая шкала:

если коэффициент больше 0,70 - связь между показателями сильная;
от 0,30 до 0,70 - связь умеренная,
меньше 0,30 - связь слабая.

Если оценить по этой шкале полученную нами выше корреляцию между чтением и благополучием, то окажется, что эта зависимость сильная и отрицательная -0,76. То есть, наблюдается сильная отрицательная связь между начитанностью и благополучием. Что еще раз подтверждает библейскую мудрость о соотношении мудрости и печали.

Приведенная градация дает очень приблизительные оценки и в таком виде редко используются в исследованиях.

Чаще используются градации коэффициентов по уровням значимости. В этом случае реально полученный коэффициент может быть значимым или не значимым. Определить это можно, сравнив его значение с критическим значением коэффициента корреляции, взятым из специальной таблицы. Причем эти критические значения зависят от численности выборки (чем больше объем, тем ниже критическое значение).

Корреляционный анализ в психологии

Корреляционный метод выступает одним из основных в психологических исследованиях. И это не случайно, ведь психология стремится быть точной наукой. Получается ли?

В чем особенность законов в точных науках. Например, закон тяготения в физике действует без исключений: чем больше масса тела, тем сильнее оно притягивает другие тела. Этот физический закон отражает связь массы тела и силы притяжения.

В психологии иная ситуация. Например, психологи публикуют данные о связи теплых отношений в детстве с родителями и уровня креативности во взрослом возрасте. Означает ли это, что любой из испытуемых с очень теплыми отношениями с родителями в детстве будет иметь очень высокие творческие способности? Ответ однозначный - нет. Здесь нет закона, подобного физическому. Нет механизма влияния детского опыта на креативность взрослых. Это наши фантазии! Есть согласованность данных (отношения - креативность), но за ними нет закона. А есть лишь корреляционная связь. Психологи часто называют выявляемые взаимосвязи психологическими закономерностями, подчеркивая их вероятностный характер - не жесткость.

Пример исследования на студентах из предыдущего раздела хорошо иллюстрирует использование корреляций в психологии:

Анализ взаимосвязи между психологическими показателями. В нашем примере IQ и успешность общения с противоположным полом - это психологические параметры. Выявление корреляции между ними расширяет представления о психической организации человека, о взаимосвязях между различными сторонами его личности - в данном случае между интеллектом и сферой общения.
Анализ взаимосвязей IQ с успеваемостью и прыжками - пример связи психологического параметра с непсихологическими. Полученные результаты раскрывают особенности влияния интеллекта на учебную и спортивную деятельность.

Вот как могли выглядеть краткие выводы по результатам придуманного исследования на студентах:

Выявлена значимая положительная зависимость интеллекта студентов и их успеваемости.
Существует отрицательная значимая взаимосвязь IQ с успешностью общения с противоположным полом.
Не выявлено связи IQ студентов с умением прыгать с места.

Таким образом, уровень интеллекта студентов выступает позитивным фактором их академической успеваемости, в то же время негативно сказываясь на отношениях с противоположным полом и не оказывая значимого влияния на спортивные успехи, в частности, способность к прыгать с места.

Как видим, интеллект помогает студентам учиться, но мешает строить отношения с противоположным полом. При этом не влияет на их спортивные успехи.

Неоднозначное влияние интеллекта на личность и деятельность студентов отражает сложность этого феномена в структуре личностных особенностей и важность продолжения исследований в этом направлении. В частности, представляется важным провести анализ взаимосвязей интеллекта с психологическими особенностями и деятельностью студентов с учетом их пола.

Коэффициенты Пирсона и Спирмена

Рассмотрим два метода расчета.

Коэффициент Пирсона - это особый метод расчета взаимосвязи показателей между выраженностью численных значений в одной группе. Очень упрощенно он сводится к следующему:

Берутся значения двух параметров в группе испытуемых (например, агрессии и перфекционизма).
Находятся средние значения каждого параметра в группе.
Находятся разности параметров каждого испытуемого и среднего значения.
Эти разности подставляются в специальную форму для расчета коэффициента Пирсона.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена рассчитывается похожим образом:

Берутся значения двух индикаторов в группе испытуемых.
Находятся ранги каждого фактора в группе, то есть место в списке по возрастанию.
Находятся разности рангов, возводятся в квадрат и суммируются.
Далее разности рангов подставляются в специальную форму для вычисления коэффициента Спирмена.

В случае Пирсона расчет шел с использованием среднего значения. Следовательно, случайные выбросы данных (существенное отличие от среднего), например, из-за ошибки обработки или недостоверных ответов могут существенно исказить результат.

В случае Спирмена абсолютные значения данных не играют роли, так как учитывается только их взаимное расположение по отношению друг к другу (ранги). То есть, выбросы данных или другие неточности не окажут серьезного влияния на конечный результат.

Если результаты тестирования корректны, то различия коэффициентов Пирсона и Спирмена незначительны, при этом коэффициент Пирсона показывает более точное значение взаимосвязи данных.

Как рассчитать коэффициент корреляции

Коэффициенты Пирсона и Спирмена можно рассчитать вручную. Это может понадобиться при углубленном изучении статистических методов.

Однако в большинстве случаев при решении прикладных задач, в том числе и в психологии, можно проводить расчеты с помощью специальных программ.

Расчет с помощью электронных таблиц Microsoft Excel

Вернемся опять к примеру со студентами и рассмотрим данные об уровне их интеллекта и длине прыжка с места. Занесем эти данные (два столбца) в таблицу Excel.

Переместив курсор в пустую ячейку, нажмем опцию «Вставить функцию» и выберем «КОРРЕЛ» из раздела «Статистические».

Формат этой функции предполагает выделение двух массивов данных: КОРРЕЛ (массив 1; массив»). Выделяем соответственно столбик с IQ и длиной прыжков.

В таблицах Excel реализована формула расчета только коэффициента Пирсона.

Расчет с помощью программы STATISTICA

Заносим данные по интеллекту и длине прыжка в поле исходных данных. Далее выбираем опцию «Непараметрические критерии», «Спирмена». Выделяем параметры для расчета и получаем следующий результат.

Как видно, расчет дал результат 0,024, что отличается от результата по Пирсону - 0,038, полученной выше с помощью Excel. Однако различия незначительны.

Использование корреляционного анализа в дипломных работах по психологии (пример)

Большинство тем выпускных квалификационных работ по психологии (дипломов, курсовых, магистерских) предполагают проведение корреляционного исследования (остальные связаны с выявлением различий психологических показателей в разных группах).

Сам термин «корреляция» в названиях тем звучит редко - он скрывается за следующими формулировками:

«Взаимосвязь субъективного ощущения одиночества и самоактуализации у женщин зрелого возраста»;
«Особенности влияния жизнестойкости менеджеров на успешность их взаимодействия с клиентами в конфликтных ситуациях»;
«Личностные факторы стрессоустойчивости сотрудников МЧС».

Таким образом, слова «взаимосвязь», «влияние» и «факторы» - верные признаки того, что методом анализа данных в эмпирическом исследовании должен быть корреляционный анализ.

Рассмотрим кратко этапы его проведения при написании дипломной работы по психологии на тему: «Взаимосвязь личностной тревожности и агрессивности у подростков».

1. Для расчета необходимы сырые данные, в качестве которых обычно выступают результаты тестирования испытуемых. Они заносятся в сводную таблицу и помещаются в приложение. Эта таблица устроена следующим образом:

каждая строка содержит данные на одного испытуемого;
каждый столбец содержит показатели по одной шкале для всех испытуемых.

№ испытуемого	Личностная тревожность	Агрессивность

2. Необходимо решить, какой из двух типов коэффициентов - Пирсона или Спирмена - будет использоваться. Напоминаем, что Пирсон дает более точный результат, но он чувствителен к выбросам в данных Коэффициенты Спирмена могут использоваться с любыми данными (кроме номинативной шкалы), поэтому именно они чаще всего используют в дипломах по психологии.

3. Заносим таблицу сырых данных в статистическую программу.

4. Рассчитываем значение.

5. На следующем этапе важно определить, значима ли взаимосвязь. Статистическая программа подсветила результаты красным, что означает, что корреляция статистически значимы при уровне значимости 0,05 (указано выше).

Однако полезно знать, как определить значимость вручную. Для этого понадобится таблица критических значений Спирмена.

Таблица критических значений коэффициентов Спирмена

	Уровень статистической значимости
Число испытуемых	р=0,05	р=0,01	р=0,001
	0,88	0,96	0,99
	0,81	0,92	0,97
	0,75	0,88	0,95
	0,71	0,83	0,93
	0,67
	0,63	0,77	0,87
		0,74	0,85
	0,58	0,71	0,82
	0,55	0,68
	0,53	0,66	0,78
	0,51	0,64	0,76

Нас интересует уровень значимости 0,05 и объем нашей выборки 10 человек. На пересечении этих данных находим значение критического Спирмена: Rкр=0,63.

Правило такое: если полученное эмпирическое значение Спирмена больше либо равно критическому, то он статистически значим. В нашем случае: Rэмп (0,66) > Rкр (0,63), следовательно, взаимосвязь между агрессивностью и тревожностью в группе подростков статистически значима.

5. В текст дипломной нужно вставлять данные в таблице формата word, а не таблицу из статистической программы. Под таблицей описываем полученный результат и интерпретируем его.

Таблица 1

Коэффициенты Спирмена агрессивности и тревожности в группе подростков

	Агрессивность
Личностная тревожность	0,665*

* - статистически достоверна (р ≤ 0,05)

Анализ данных, приведенных в таблице 1, показывает, что существует статистически значимая положительная связьмежду агрессивностью и тревожностью подростков. Это означает, что чем выше личностная тревожность подростков, тем выше уровень их агрессивности. Такой результат дает основание предположить, что агрессия для подростков выступает одним из способов купирования тревожности. Испытывая неуверенность в себе, тревогу в связи с угрозами самооценке, особенно чувствительной в подростковом возрасте, подросток часто использует агрессивное поведение, таким непродуктивным способом снижая тревогу.

6. Можно ли при интерпретации связей говорить о влиянии? Можно ли сказать, что тревожность влияет на агрессивность? Строго говоря, нет. Выше мы показали, что корреляционная связь между явлениями носит вероятностный характер и отражает лишь согласованность изменений признаков в группе. При этом мы не можем сказать, что эта согласованность вызвана тем, что одно из явлений является причиной другого, влияет на него. То есть, наличие корреляции между психологическими параметрами не дает оснований говорить о существовании между ними причинно-следственной связи. Однако практика показывает, что термин «влияние» часто используется при анализе результатов корреляционного анализа.

Любой закон природы или общественного развития может быть представлен описанием совокупности взаимосвязей. Если эти зависимости стохастичны, а анализ осуществляется по выборке из генеральной совокупности, то данная область исследований относится к задачам статистического исследования зависимостей, которые включают в себя корреляционный, регрессионный, дисперсионный, ковариационный анализ и анализ таблиц сопряженности.

Существует ли связь между исследуемыми переменными?

Как измерить тесноту связей?

Общая схема взаимосвязи параметров при статистическом исследовании приведена на рис. 1.

На рисунке S – модель исследуемого реального объекта, Объясняющие (независимые, факторные) переменные описывают условия функционирования объекта. Случайные факторы – это факторы, влияние которых трудно учесть или влиянием которых в данный момент пренебрегают. Результирующие (зависимые, объясняемые) переменные характеризуют результат функционирования объекта.

Выбор метода анализа взаимосвязи осуществляется с учетом природы анализируемых переменных.

Корреляционный анализ - метод обработки статистическихданных, заключающийся в изучении связи между переменными.

Цель корреляционного анализа - обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. Корреляция отражает лишь линейную зависимость величин, но не отражает их функциональной связности. Например, если вычислить коэффициент корреляции между величинами A = sin(x) и B = cos(x), то он будет близок к нулю, т.е. зависимость между величинами отсутствует.

При исследования корреляции используются графический и аналитический подходы.

Графический анализ начинается с построения корреляционного поля. Корреляционное поле (или диаграмма рассеяния) является графической зависимостью между результатами измерений двух признаков. Для ее построения исходные данные наносят на график, отображая каждую пару значений (xi,yi) в виде точки с координатами xi и yi в прямоугольной системе координат.

Визуальный анализ корреляционного поля позволяет сделать предположение о форме и направлении взаимосвязи двух исследуемых показателей. По форме взаимосвязи корреляционные зависимости принято разделять на линейные (см. рис. 1) и нелинейные (см. рис. 2). При линейной зависимости огибающая корреляционного поля близка к эллипсу. Линейная взаимосвязь двух случайных величин состоит в том, что при увеличении одной случайной величины другая случайная величина имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону.

Направление связи является положительным, если увеличение значения одного признака приводит к увеличению значения второго (см. рис. 3) и отрицательным, если увеличение значения одного признака приводит к уменьшению значения второго (см. рис. 4).

Зависимости, имеющие только положительные или только отрицательные направленности, называются монотонными.

Корреляционный анализ

Корреля́ция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции .

Корреляция может быть положительной и отрицательной (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи - например, для независимых случайных величин). Отрицательная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции отрицателен. Положительная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции положителен.

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.

Пусть X ,Y - две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве . Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой:

где cov обозначает ковариацию , а D - дисперсию , или, что то же самое,

где символ обозначает математическое ожидание .

Для графического представления подобной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммой рассеяния».

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы , к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или τ (тау) Кендала. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, кода связь между ними линейна (однонаправлена).

Коэффициент корреляции Кенделла

Используется для измерения взаимной неупорядоченности.

Коэффициент корреляции Спирмена

Свойства коэффициента корреляции

если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию , то норма случайной величины будет равна

, и следствием неравенства Коши - Буняковского будет: . , где . Более того в этом случае знаки и k совпадают: .

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ - метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции ) между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа - обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют . В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б: если обе переменные растут то корреляция положительная , если одна переменная растёт, а вторая уменьшается, корреляция отрицательная .

Корреляция отражает лишь линейную зависимость величин, но не отражает их функциональной связности. Например, если вычислить коэффициент корреляции между величинами A = s i n (x ) и B = c o s (x ) , то он будет близок к нулю, т. е. зависимость между величинами отсутствует. Между тем, величины A и B очевидно связаны функционально по закону s i n 2 (x ) + c o s 2 (x ) = 1 .

Ограничения корреляционного анализа

Графики распределений пар (x,y) с соответствующими коэффициентами корреляций x и y для каждого из них. Обратите внимание, что коэффициент корреляции отражает линейную зависимость (верхняя строка), но не описывает кривую зависимости (средняя строка), и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка).

Применение возможно в случае наличия достаточного количества случаев для изучения: для конкретного вида коэффициента корреляции составляет от 25 до 100 пар наблюдений.
Второе ограничение вытекает из гипотезы корреляционного анализа, в которую заложена линейная зависимость переменных . Во многих случаях, когда достоверно известно, что зависимость существует, корреляционный анализ может не дать результатов просто ввиду того, что зависимость нелинейна (выражена, например, в виде параболы).
Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, какая из переменных предшествует или является причиной изменений, или что переменные вообще причинно связаны между собой, например, ввиду действия третьего фактора.

Область применения

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение , агрохимия , гидробиология , биометрия и прочие.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

Ложная корреляция

Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи.

В современной количественной методологии социальных наук , фактически, произошел отказ от попыток установить причинно-следственные связи между наблюдаемыми переменными эмпирическими методами. Поэтому, когда исследователи в социальных науках говорят об установлении взаимосвязей между изучаемыми переменными, подразумевается либо общетеоретическое допущение, либо статистическая зависимость.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Корреляционный анализ" в других словарях:

См. АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

Раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между двумя (или большим числом) случайными признаками или факторами. См. Корреляция (в математической статистике) … Большой Энциклопедический словарь

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ, раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между двумя (или большим числом) случайными признаками или факторами. См. Корреляция (см. КОРРЕЛЯЦИЯ (взаимная связь … Энциклопедический словарь

Корреляционный анализ - (в экономике) ветвь математической статистики, изучающая взаимосвязи между изменяющимися величинами (корреляция соотношение, от латинского слова correlatio). Взаимосвязь может быть полная (т.е. функциональная) и неполная,… … Экономико-математический словарь

корреляционный анализ - (в психологии) (от лат. correlatio соотношение) статистический метод оценки формы, знака и тесноты связи исследуемых признаков или факторов. При определении формы связи рассматривается ее линейность или нелинейность (т. е. как в среднем… … Большая психологическая энциклопедия

корреляционный анализ - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN correlation analysis … Справочник технического переводчика

корреляционный анализ - koreliacinė analizė statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Statistikos metodas, kuriuo įvertinami tiriamųjų asmenų, reiškinių požymiai arba veiksnių santykiai. atitikmenys: angl. correlation studies vok. Analyse der Korrelation, f;… … Sporto terminų žodynas

Совокупность основанных на математической теории корреляции (См. Корреляция) методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя случайными признаками или факторами. К. а. экспериментальных данных заключает в себе следующие… … Большая советская энциклопедия

Раздел матем. статистики, объединяющий практич. методы исследования корреляц. зависимости между двумя (или большим числом) случайными признаками или факторами. См. Корреляция … Большой энциклопедический политехнический словарь

Исследование объективно существующих связей между явлениями - важнейшая задача статистики. В процессе статистического исследования зависимостей выявляются причинно-следственные отношения между явлениями. Причинно-следственные отношения - это такая связь явлений и процессов, когда изменение одного из них - причины ведет к изменению другого - следствия.

Признаки явлений и процессов по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называют факторными , или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными .

В статистике различают функциональные и стохастические (вероятностные) связи явлений и процессов:

Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно значение результативного.
Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической (вероятностной) . Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь.

Кроме того, связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению.

По направлению выделяют связь прямую и обратную:

Прямая связь - это такая связь, при которой с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) значений результативного. Так, например, рост производительности труда способствует увеличению уровня рентабельности производства.
В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так с увеличением уровня фондоотдачи снижается себестоимость единицы производимой продукции.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные:

Если статистическая связь между явлениями может быть приблизительно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью вида: у=а+bх.
Если же связь может быть выражена уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы и др.), то такую связь называют нелинейной (криволинейной) связью .

Теснота связи показывает меру влияния факторного признака на общую вариацию результативного признака. Классификация связи по степени тесноты представлена в таблице 1.

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются следующие методы: приведения параллельных данных, аналитических группировок, графический, корреляции. Основным методом изучения статистической взаимосвязи является статистическое моделирование связи на основе корреляционного и регрессионного анализа .

Корреляция - это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой. В статистике принято различать следующие виды корреляции :

парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными);
частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;
множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Задачей корреляционного анализа является количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, которые давая количественную характеристику тесноты связи между признаками, позволяют определять «полезность» факторных признаков при построении уравнения множественной регрессии.

Корреляция взаимосвязана с регрессией, поскольку первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи в виде уравнения регрессии.

Регрессией называется зависимость среднего значения случайной величины результативного признака от величины факторного, а уравнением регрессии – уравнение описывающее корреляционную зависимость между результативным признаком и одним или несколькими факторными.

Формулы корреляционно-регрессионного анализа для прямолинейной связи при парной корреляции представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Формулы корреляционно-регрессионного анализа для прямолинейной связи при парной корреляции

Показатель	Обозначение и формула
Уравнение прямой при парной корреляции	y x = a +bx, где b - коэффициент регрессии
Система нормальных уравнений *способом наименьших квадратов* для определения коэффициентов a и b
Линейный коэффициент корреляции для определения тесноты связи, его интерпретация: r = 0 – связь отсутствует; 0 -1 r = 1 – связь функциональная
Эластичность абсолютная
Эластичность относительная

Примеры решения задач по теме «Основы корреляционного анализа»

Задача 1 (анализ прямолинейной связи при парной корреляции) . Имеются данные о квалификации и месячной выработке пяти рабочих цеха:

Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкой определить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции. Дать интерпретацию коэффициентам регрессии и корреляции.

Решение . Расширим предлагаемую таблицу.

Определим параметры уравнения прямой y x = a +bx . Для этого решим систему уравнений:

Значит коэффициент регрессии равен 18.

Поскольку в - положительное число, то имеется прямая связь между параметрами x и у.
а=92-4×18
а=20
Линейное уравнение связи имеет вид у х =20+18х.

Для определения тесноты (силы) связи между изучаемыми признаками определим величину коэффициента корреляции по формуле:

= (2020-20×460/5)/(√10×√3280) ≈ 180/181,11=0,99. Поскольку коэффициент корреляции больше 0,7, то связь в данном ряду сильная.

Задача 2 . На предприятии цены на изделия снижены с 80 руб. за единицу до 60 руб. После снижения цен продажа возросла с 400 до 500 единиц в день. Определить абсолютную и относительную эластичность. Сделать оценку эластичности с целью возможности (или невозможности) дальнейшего снижения цен.

Решение . Рассчитаем показатели, позволяющие провести предварительный анализ эластичности:

Как видим, темпы снижения цены равны по абсолютной величине темпам увеличения спроса.

Абсолютную и относительную эластичность найдем по формулам:

= (500-400)/(60-80) =100/(-20) -5 - эластичность абсолютная

= (100:400)/(-20:80) = -1 - эластичность относительная

Модуль относительной эластичности равен 1. Это подтверждает тот факт, что темп роста спроса равен темпу снижения цены. В такой ситуации вычислим выручку, получаемую предприятием ранее и после снижения цены: 80*400 = 32 000 руб. в день, 60*500 = 30 000 руб. в день – как видим, выручка снизилась и дальнейшее снижение цен не является целесообразным.